Математическая олимпиада

Вариант для 9-11 классов.

1.

Реши уравнение в натуральных числах: х³ - у³ = 91.

2.

Шурик и Юрик разводят странных букашек. По вечерам четных дней количество букашек удваивается, а по вечерам нечетных - утраивается. Утром 21 марта Юрик поместил в пробирку одну букашку, а утром следующего дня Шурик положил в такую же пробирку трех букашек. Вечером 2 апреля пробирка Юрика заполнилась.
1. Когда заполнилась пробирка Шурика?
2. Сколько букашек умещается в полной пробирке?

3.

Бумажный прямоугольник сложили так, что две противоположные вершины совместились, причем длина линии сгиба оказалась равна длине большей стороны. Найти отношение сторон прямоугольника.

4.

Из некоторого зала можно выйти через четыре двери X, Y, Z и W. По крайней мере одна из них ведет на свободу. Того, кто выходит через другую дверь, пожирает огнедышащий дракон. В зале находятся восемь стражников A, B, C, D, E, F, G и H, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Стражники говорят:
A: X - дверь, ведущая на свободу.
B: По крайней мере одна из дверей Y и Z ведет на свободу.
C: A и B - рыцари.
D: Обе двери X и Y ведут на свободу.
E: Обе двери X и Z ведут на свободу.
F: Либо D, либо E - рыцарь.
G: Если C - рыцарь, то F - рыцарь.
H: Если G и я сам - рыцари, то A - рыцарь.
Какую дверь следует выбрать?

5.

Учитель физкультуры стоит перед строем из 25 первоклассников. Все они стоят к нему лицом. После команды "направо" часть ребят повернулась направо, часть налево, а некоторые продолжали стоять лицом к учителю. Докажи, что учитель в любом случае сможет найти такое место в их строю, что, если он туда встанет, число ребят, стоящих к нему лицом, справа и слева от него будет одинаковым.

6.

До 1957 года в Индии существовала особая система записи дробных числительных. Сначала она использовалась для обозначения долей рупии, измеряемых в пайсах, а позднее - для математических вычислений. Даны некоторые дробные числительные в староиндийской записи и их современное написание:Задание 1. Определите числовое значение следующих староиндийских дробей:Задание 2. Запишите по-староиндийски следующие дроби:
3/4; 19/40; 25/32; 19/64; 5/8
Если в каком-то случае Вы не можете этого сделать, объясните почему.


Задание 3. Как Вы думаете, какую часть рупии составляла пайса?
Примечание. Рупия и пайса - денежные единицы Индии: основная и наименьшая соответственно.

Назад к странице олимпиады 2010 года