Пишите!
Пишите!
тел. 158-6266

Математическая олимпиада

Олимпиада 2009 года

Вариант для 9-11 классов.


1.

В некоторой стране есть два города. В одном из них живут только люди, которые всегда говорят правду, в другом - только те, кто всегда лжет. Все они ходят друг к другу в гости, т.е. в любом из этих двух городов можно встретить как честного человека, так и лжеца. Предположим, вы оказались в одном из этих городов. Как, задав один-единственный вопрос первому встречному, определить, в какой город вы попали - в город честных или в город лжецов?


2.

Как-то раз в пятницу Винни-Пух пошел в гости к Пятачку. Вышел он в 6 часов вечера и пришел к другу через 2 часа. В субботу он возвращался к себе домой той же дорогой, причем вышел от Пятачка в 6 вечера, а домой пришел в 8. Надо сказать, что шел он оба раза не с постоянной скоростью. То бежал, то смотрел на небо, то сочинял сопелки и пыхтелки. Докажи, что тем не менее на его маршруте обязательно найдется такая точка, в которой он оказался и в пятницу и в субботу в одно и то же время.


3.

Доказать, что во всяком треугольнике точки, симметричные точке пересечения высот этого треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около треугольника.


4.

Сидят по кругу 7 человек, у каждого - чашка с квасом (количество кваса у всех может быть разным, у некоторых может быть пустая чашка, но по крайней мере у одного - не пустая). Первый делит весь свой квас на 6 равных частей и разливает всем поровну, а у него самого остается 0. Потом второй делает то же самое (на 6 частей), и т.д. по кругу до седьмого, все 7 по одному разу. Оказалось, что в результате у каждого в конце вышло ровно столько же кваса, сколько у него было вначале (например, отсюда очевидно, что у последнего вначале было 0). Возможно ли это? (Привести пример или доказать, что невозможно.)


5.

Пешеход, мотоциклист и велосипедист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист отставал от них на 8 км. Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 4 км. На сколько километров велосипедист обгонял пешехода в тот момент, когда пешеход встретился с мотоциклистом? (задача имеет красивое решение, связанное с графиками!)


6.

В языке хева названия некоторых частей тела имеют числовые значения. Ниже приведены: в левой колонке - слова языка хева в латинской транскрипции, в средней - числовые значения этих слов, в правой - названия частей тела, которые эти слова обозначают. В каждой колонке имеются пропуски.

namalu -2 указательный палец левой руки
keli -5 мизинец левой руки
tagu -7 ?
aluene -8 локоть левой руки
kolu ? ?
opey -12 левое ухо
? -1 ?
aley -10 ?
ilaw -11 левая сторона шеи
fawalo -3 средний палец левой руки
kay-maluene -22 запястье правой руки
? ? часть правой руки от запястья до локтя
ni ? левый глаз
? -24 указательный палец правой руки
? -6 ?
kay-name -23 ?
kay-kolu -26 ?
kay-keli ? ?
patapa ? переносица

Задание. Заполните пропуски.


7.

Двум профессорам А и В известно, что загаданы два целых числа х и у, таких что 1 < x < y и x + y < 20. Профессору А сказали значение суммы х + у, а профессору В - значение произведения ху. После этого между профессорами состоялся следующий диалог:
В: Я не могу назвать эти числа.
А: Я знал это.
В: О, теперь я могу их назвать!

Какие числа были загаданы? Сможет ли профессор А назвать их после последней реплики профессора В?


Назад к странице олимпиады 2009 года


Школа "Муми-тролль"
Адрес школы:
Волоколамское шоссе, д.1
Создание сайта © Serge N.Kozintsev