Математическая олимпиада

Вариант для 9-11 классов.

1.

В некоторой стране есть два города. В одном из них живут только люди, которые всегда говорят правду, в другом - только те, кто всегда лжет. Все они ходят друг к другу в гости, т.е. в любом из этих двух городов можно встретить как честного человека, так и лжеца. Предположим, вы оказались в одном из этих городов. Как, задав один-единственный вопрос первому встречному, определить, в какой город вы попали - в город честных или в город лжецов?

2.

Как-то раз в пятницу Винни-Пух пошел в гости к Пятачку. Вышел он в 6 часов вечера и пришел к другу через 2 часа. В субботу он возвращался к себе домой той же дорогой, причем вышел от Пятачка в 6 вечера, а домой пришел в 8. Надо сказать, что шел он оба раза не с постоянной скоростью. То бежал, то смотрел на небо, то сочинял сопелки и пыхтелки. Докажи, что тем не менее на его маршруте обязательно найдется такая точка, в которой он оказался и в пятницу и в субботу в одно и то же время.

3.

Доказать, что во всяком треугольнике точки, симметричные точке пересечения высот этого треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около треугольника.

4.

Сидят по кругу 7 человек, у каждого - чашка с квасом (количество кваса у всех может быть разным, у некоторых может быть пустая чашка, но по крайней мере у одного - не пустая). Первый делит весь свой квас на 6 равных частей и разливает всем поровну, а у него самого остается 0. Потом второй делает то же самое (на 6 частей), и т.д. по кругу до седьмого, все 7 по одному разу. Оказалось, что в результате у каждого в конце вышло ровно столько же кваса, сколько у него было вначале (например, отсюда очевидно, что у последнего вначале было 0). Возможно ли это? (Привести пример или доказать, что невозможно.)

5.

Пешеход, мотоциклист и велосипедист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист отставал от них на 8 км. Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 4 км. На сколько километров велосипедист обгонял пешехода в тот момент, когда пешеход встретился с мотоциклистом? (задача имеет красивое решение, связанное с графиками!)

6.

В языке хева названия некоторых частей тела имеют числовые значения. Ниже приведены: в левой колонке - слова языка хева в латинской транскрипции, в средней - числовые значения этих слов, в правой - названия частей тела, которые эти слова обозначают. В каждой колонке имеются пропуски.

Задание. Заполните пропуски.

7.

Двум профессорам А и В известно, что загаданы два целых числа х и у, таких что 1 < x < y и x + y < 20. Профессору А сказали значение суммы х + у, а профессору В - значение произведения ху. После этого между профессорами состоялся следующий диалог:
В: Я не могу назвать эти числа.
А: Я знал это.
В: О, теперь я могу их назвать!

Какие числа были загаданы? Сможет ли профессор А назвать их после последней реплики профессора В?

Назад к странице олимпиады 2009 года