Математическая олимпиада

Олимпиада 2009 года

Вариант для 7 класса.

1.

Группа рассеянных школьников приехала на олимпиаду по математике. 70% ребят потеряли ручки, 75% - карандаши, 80% - линейки, а 85% - циркули. Сколько процентов рассеянных школьников потеряли и ручку, и карандаш, и линейку, и циркуль? (Найди наибольший и наименьший возможный процент)

2.

Высказывание типа "если М, то N" является ложным, только если М - истинно, а N - ложно. Например, высказывание "если нет дождя, то Вася гуляет" ложно только если дождя нет, а Вася не гуляет.

На некотором острове живут только рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. У трех обитателей A, B и C этого острова взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:
A: B - рыцарь.
B: Если A - рыцарь, то C - рыцарь.
Можно ли определить, кто из A, B и C рыцарь и кто лжец?

3.

Трое путешественников оказались на необитаемом острове. Они собрали некоторое количество кокосовых орехов, положили в мешок и оставили их до утра, чтобы поделить. Ночью один из них проснулся и решил поделить орехи. Он хотел разделить их поровну, но один орех оказался лишним. Тогда он отдал его обезьянке, остальные поделил на троих, взял себе треть и ушел спать. В это время проснулся второй путешественник и проделал то же самое - отдал лишний орех обезьянке, взял себе треть и лег спать. Тут проснулся последний путешественник и проделал то же, что два предыдущих. Какое наименьшее число орехов могло остаться в мешке к утру?

4.

Найди угол между диагоналями АВ и АС двух соседних граней куба.

5.

В языке дияри* существительные maṛa "рука" и ṯina "нога" употребляются также в качестве числительных. Ниже приводятся некоторые числительные этого языка в латинской транскрипции, в том числе и такие, в состав которых входят эти слова:

1	kuṇu
3	parkulu
7	maṛa wada ya mandu
8	maṛa wada ya parkulu
10	maṛa parṯaṇa
16	maṛa parṯaṇa ya ṯina wada ya kuṇu
22	maṛa parṯaṇa ya ṯina parṯaṇa ya mandu

Задание. Запишите на языке дияри: 2; 5; 6; 12; 18.

Примечание: ṇ, ṛ, ṯ - особые согласные языка дияри.

6.

На прямой отмечено 11 точек, не принадлежащих отрезку АВ этой же прямой. Докажи, что сумма расстояний от этих точек до точки А не равна сумме расстояний от этих точек до точки В.

Назад к странице олимпиады 2009 года